線形代数例

$2 x - 3 y + z = 4$ $y - 2 z + x - 5 = 0$ $3 - 2 x = 4 y - z$

ステップ 1

変数を左に、定数項を右に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$2 x - 3 y + z = 4$

$y - 2 z + x = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

ステップ 1.2

$- 2 z$ を移動させます。

$2 x - 3 y + z = 4$

$y + x - 2 z = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

ステップ 1.3

$y$ と $x$ を並べ替えます。

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

ステップ 1.4

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

方程式の両辺から $4 y$ を引きます。

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y = - z$

ステップ 1.4.2

方程式の両辺に $z$ を足します。

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

ステップ 1.5

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

ステップ 2

式を行列で書きます。

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & - 2 & 5 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

ステップ 3

縮小行の階段形を求めます。

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ステップ 3.1

$R_{1}$ の各要素に $\frac{1}{2}$ を掛けて $1, 1$ の項目を $1$ にします。

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ステップ 3.1.1

$R_{1}$ の各要素に $\frac{1}{2}$ を掛けて $1, 1$ の項目を $1$ にします。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{4}{2} \\ 1 & 1 & - 2 & 5 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

ステップ 3.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 1 & 1 & - 2 & 5 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

ステップ 3.2

行演算 $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ を行い $2, 1$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 3.2.1

行演算 $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ を行い $2, 1$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 1 - 1 & 1 + \frac{3}{2} & - 2 - \frac{1}{2} & 5 - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

ステップ 3.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 3 \\ - 2 & - 4 & 1 & - 3 \end{array}]$

ステップ 3.3

行演算 $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ を行い $3, 1$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 3.3.1

行演算 $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ を行い $3, 1$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 3 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 4 + 2 (- \frac{3}{2}) & 1 + 2 (\frac{1}{2}) & - 3 + 2 \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & 3 \\ 0 & - 7 & 2 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.4

$R_{2}$ の各要素に $\frac{2}{5}$ を掛けて $2, 2$ の項目を $1$ にします。

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ステップ 3.4.1

$R_{2}$ の各要素に $\frac{2}{5}$ を掛けて $2, 2$ の項目を $1$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} & \frac{2}{5} (- \frac{5}{2}) & \frac{2}{5} \cdot 3 \\ 0 & - 7 & 2 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.4.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 & - 7 & 2 & 1 \end{array}]$

ステップ 3.5

行演算 $R_{3} = R_{3} + 7 R_{2}$ を行い $3, 2$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 3.5.1

行演算 $R_{3} = R_{3} + 7 R_{2}$ を行い $3, 2$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 + 7 \cdot 0 & - 7 + 7 \cdot 1 & 2 + 7 \cdot - 1 & 1 + 7 (\frac{6}{5}) \end{array}]$

ステップ 3.5.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 & 0 & - 5 & \frac{47}{5} \end{array}]$

ステップ 3.6

$R_{3}$ の各要素に $- \frac{1}{5}$ を掛けて $3, 3$ の項目を $1$ にします。

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ステップ 3.6.1

$R_{3}$ の各要素に $- \frac{1}{5}$ を掛けて $3, 3$ の項目を $1$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot \frac{47}{5} \end{array}]$

ステップ 3.6.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & \frac{6}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

ステップ 3.7

行演算 $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ を行い $2, 3$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 3.7.1

行演算 $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ を行い $2, 3$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & \frac{6}{5} - \frac{47}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

ステップ 3.7.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

ステップ 3.8

行演算 $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{3}$ を行い $1, 3$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 3.8.1

行演算 $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{3}$ を行い $1, 3$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 2 - \frac{1}{2} (- \frac{47}{25}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

ステップ 3.8.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & \frac{147}{50} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

ステップ 3.9

行演算 $R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{2}$ を行い $1, 2$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 3.9.1

行演算 $R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{2}$ を行い $1, 2$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{147}{50} + \frac{3}{2} (- \frac{17}{25}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

ステップ 3.9.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{48}{25} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{17}{25} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{47}{25} \end{array}]$

ステップ 4

結果の行列を利用して連立方程式の最終的な解とします。

$x = \frac{48}{25}$

$y = - \frac{17}{25}$

$z = - \frac{47}{25}$

ステップ 5

解は式を真にする順序対の集合です。

$(\frac{48}{25}, - \frac{17}{25}, - \frac{47}{25})$

線形代数 例

線形代数例